けろりんの数学ブログ

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Cauchy列と収束列

解析

はじめまして

はじめまして,けろりんです.
アウトプットの練習の場としてブログを始めさせていただきます.
数学の"お気持ち"を理解したい大学生です.最近の興味は力学系,可換環論などです.

Cauchy列と収束列

それでは本題に入ります.大学1回生の時の微分積分学の講義においてこんなことを習いました.
Cauchy列ならば収束列である.
これ,実は一般的には成り立たないんです.一般的に成り立つのは
収束列ならばCauchy列である.
だけなんです.それではまずは2つの定義から見ていきましょう.

数列{ {a_n}_{(n\in\mathbb{N})} }が以下を満たすときCauchy列であるという.*1
{\displaystyle {}^\forall\varepsilon\gt0,{}^\exists N\in\mathbb{N},\mathrm{s.t.}"m,n\geq N \Rightarrow |a_n - a_m|\lt\varepsilon }

数列{ {a_n}_{(n\in\mathbb{N})} }が以下を満たすとき数列は{\alpha}に収束するといい,この数列は収束列であるという.
{\displaystyle {}^\forall\varepsilon\gt0,{}^\exists N\in\mathbb{N},\mathrm{s.t.}"n\geq N \Rightarrow |a_n - \alpha|\lt\varepsilon }

おなじみの定義ですね.では収束列ならばCauchy列を(ほぼ明らかではありますが)示していきたいと思います.

収束列{\Rightarrow}Cauchy列

収束列ということで {\displaystyle {}^\forall\varepsilon\gt0,{}^\exists N\in\mathbb{N},\mathrm{s.t.}"n\geq N \Rightarrow |a_n - \alpha|\lt\varepsilon }
が成立します.この{N}に対して{n,m\gt N}となるような{n,m}を任意に取ると
{\displaystyle |a_n-a_m|=|a_n-\alpha-(a_m-\alpha)|\leq |a_n-\alpha|+|a_m-\alpha|\lt 2\varepsilon }
が成立,これは数列がCauchy列になっていることを示しています.

Cauchy列{\Rightarrow}収束列

これは一般には成り立たないと言いましたが,その違いを表すキーワードが完備性です.完備性を持つ空間上の数列についてはCauchy列{\Rightarrow}収束列が成立します.もちろん実数は完備性を持ちます.微分積分学のはじめの講義でDedekindの公理,Cantorの区間縮小法,Weierstrassの定理などをやりますが,これらは全て実数に完備性*2を公理的に与える作業だったのです.(実数というのは完備性を持つもの,というのを前提にしてこれから議論を進めますよ～～,という意味です.)
つまりこれが成り立たない例を見るには,完備性を無くしてやればいいのです.ということで少しだけ"セカイを狭めて"やりましょう.これからは有理数上の数列を考えることにします.

有理数上の数列{{a_n}}について各々の項を以下のように定めることにします.
{a_0=1}
{a_1=1.4}
{a_2=1.41}
{a_3=1.414}
{a_4=1.4142}
{\vdots}

これらの数列の各項は有理数の値を取ります.お察しの通りこの数列は{\sqrt{2}}に収束する……と言いたいところなのですが,今の"セカイ"は有理数,{\sqrt{2}}なんて数は知らないわけです.収束の定義のところに明示はしていなかったのですが,数列の項と収束先のいる"セカイ"は一緒でなくてはなりません.ですので,この数列は"有理数の範囲内では"収束しないといえます.これがCauchy列であることはまあ明らかでしょうから,これで"Cauchy列ならば収束列"の反例を挙げることができました.*3

おわりに

完備 is 偉大,ということが伝わったのであれば幸いです.
解釈/記述の間違っている点,記述の分かりにくい点,その他ご意見などございましたら,お手数ですがご指摘の方よろしくお願いいたします.
最後までお読みいただきありがとうございました.

*1:{a_n}にちゃんと{}つけてるはずなのについてないのは何故…？\{\}ではないの…？有識者氏～～

*2:稠密性と混同している方をよくお見掛けしますが,異なる概念ですので注意してください.

*3:収束先を"くっつける"ことで"セカイ"を拡張する,という事もできます.これを完備化といいます.